Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

FUNGSI Dan ơ

FUNGSI Tao dan Sigma

FUNGSI τ Dan ơ

Berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki bilangan-bilangan bulat dapat didefinisikan fungsi-fungsi tertentu yang mempunyai peranan penting dalam Teori Bilangan. Fungsi-fungsi khusus tersebut sering disebut fungsi aritmetik (fungsi teori bilangan). Pada umumnya fungsi aritmetik didefinisikan/mempunyai daerah asal pada himpunan semua bilangan bulat positif.
Apabila f suatu fungsi aritmetik,maka : f : B  B dengan
B adalah himpunan semua bilangan bulat
B adalah himpunan semua bilangan bulat positif.
Berikut ini akan dibahas fungsi τ (tan) dan fungsi ơ (sigma)
A.    Fungsi τ (tan)

Definisi 4.2
Misalkan n suatu bilangan bulat positif τ (n) menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n.
Contoh :
1)      Pembagi-pembagi bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6,dan 12,maka T (12) = 6
2)      Pembagi-pembagi bulat positif dari 15 adalah 1,3,5,dan 15,maka T (15) = 4
3)      Pembagi-pembagi bulat positif dari 13 adalah 1 dan 13,maka T (13) = 2
4)      Periksalah bahwa τ (1) = 1, τ (2) = 2, τ (3) = 2, τ (4) = 3, τ (5) = 2, τ (6) = 4, τ (8) = 4,
Apabila p suatu bilangan prima, maka τ (p) = 2

τ (n) yaitu banyaknya pembagi bulat positif dari n sering dinyatakandengan rumus yang menggunakan notasi ∑ (sigma). Berikut ini beberapa contoh definisi notasi ∑.

Contoh :
1)      n = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

2)      = 2 + 3 + 4 + 5 + 6

3)      = 3 + 3 + 3 + 3 + 3

4)       = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12,yaitu jumlah semua pembagi bulat positif dari 12

5)       = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, yaitu banyaknya pembagi bulat positif dari 12

6)       = f(1) + f(2) + f(3) + f(6) + f(9) + f(18)

Dari beberapa contoh pemakaian notasi ∑ tersebut, τ (n) dapat dirumuskan sebagai berikut :
τ (n) =  untuk n ≥ 1
Jadi τ (n) merupakan penjumlahan dari 1 sebnyak pembagi bulat positif dari n.
Contoh :
1)      Semua pembagi bulat positif dari 32 adalah 1,2,4,8,16 dan 32,maka
 = 1 + 1 + 1 + 1+ 1 + 1 = 6
2)      Semua pembagi bulat positif dari 48 adalah 1,2,3,4,5,6,8,12,16,24,dan 48,maka
 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10
3)      Periksalah bahwa  = 1, = 1 + 1 = 2,  = 1 + 1 + 1 = 3,  1 + 1+ 1 + 1 = 4,
Jika p suatu bilangan prima,maka  = 1 + 1 = 2

Dari uraian dan contoh-contoh di atas dapat dipahami bahwa apabila p suatu bilangan prima,maka pembagi-pembagi bulat positifnya hanyalah 1 dan p saja,sehingga τ (p) = 2
Pembagi-pembagi bulat positif dari p2 adalah 1,p dan p2 sehingga τ (p2) =  = 1 + 1 + 1 = 3
Periksalah bahwa τ (p3) = 4, τ (p4) = 5, τ (p5) = 6. Nampak bahwa jika k suatu bilangan bulat positif,maka τ (pk) = k + 1. Ingat bahwa p disini adalah suatu bilangan prima.

Contoh :
1)      64 = 26, maka τ (64) = τ (26) = 6 + 1 = 7
Periksalah dengan mencacah semua pembagibulat positif dari 64
2)      τ (243) = τ (35) = 5 + 1 = 6
3)                  Periksalah bahwa τ (32) =  6, τ (16) = 5, τ (81) = 5, τ (125) = 4 dan τ (2401) = 5,

Sekarang,apabila p1 dan p2 keduanya adalah bilangan prima dan n = p1p2, maka pembagi-pembagi bulat positif dari n adalah 1,p1p2  dan p1p2  = n sehingga τ (n) = 4.
Jika m = p1p2, maka pembagi-pembagi bulat positif m dapat disusun sebagai berikut :
1 ,        p2 ,      p22 ,        p23
P1,        p1p2,     p1p22,     p1p23
P12,      p12p2,    p12p22,    p12p23 = m
Nampak pada daftar ini bahwa τ (p12p23) = 3 x 4 = 12
Contoh :
1)      τ (144) = τ (24 . 32) = 5 x 3 = 15
2)      τ (1323) = τ (33 . 72) = 4 x 3 = 12
3)      Periksalah bahwa τ (675) = 12, τ (784) = 15

Dapatkah anda membuktikan bahwa apabila n = pkqt dengan p dan q bilangan-bilangan prima yang berlainan dan k,t adalah bilangan-bilangan bulat positif, maka : τ (n) = τ (pkpt) = (k + 1) (t + 1)
Bukti :
Semua pembagi bulat positif dari n = pkpt dapat disusun daftar sebagai berikut :
1,         p,         p2,        p3,        ….,      pk
q,         pq,       p2q,      p3q,      ….,      pkq
q2,        pq2,      p2q2,     p3q2,     …..,     pkq2
………………………………………….
q2,        pq2,      p2q2,     p3q2,     …..,       pkqt = n

Nampak pada daftar tersebut bahwa :
τ (n) = τ (pkqt) = (k + 1) (t + 1)

Kita telah mengetahui teorema dasar aritmatika,yaitu bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat difaktorkan secara tunggal atas factor-faktor prima.
Missal: 72 = 23 . 32, 300 = 22 . 3 . 52
Setiap bilangan bulat positif n ≥ 1 untuk setiap i =1,2,3,…k

Teorema 4.9
Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat n adalah p1a3,p232,p3a3,….pkak,maka:
τ (n) = (a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1) … (ak + 1)
Bukti :
Apabila d suatu pembagi bulat positif dari n,maka :
d = p1t1,p2t2,….pktk dengan 0  ≤ t1 ≤ a1
maka banyaknya pembagi bulat positif dari n merupakan hasil kali banyaknya pilihan yang mungkin untuk ti dari (ai + 1) pilihan. Sehingga diperoleh τ (n) =  (a1 + 1) (a2 + 1) (a3 + 1) … (ak + 1)
Rumus τ (n) tersebut sering dinyatakan dengan notasi П (pi). Berikut ini diberikan definisi contoh pemakaian notasi П

Contoh :
1)        di = d1 . d2 . d3 . d4 . d5
2)      f(n) = f(1) . f(2) . f(3) . f(4)
3)      (di + 1) = (d1 + 1) (d2 + 1) (d3 + 1) … (dn + 1)

Teorema 4.9 atas dituliskan dengan notasi π sebagai berikut:
Apabila n = p1a1 p2a2 …. Pkak =  piai , maka

τ ( n) =  (ai + 1)

Contoh :
1)      1260 = 22 . 32 . 5 . 7,maka
τ (1260) = t (22 . 32 . 5 . 7) = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 36
2)      33.075 =  33 . 52 . 72, maka
τ (33 . 52 . 72) = (3 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 36
3)      Periksalahbahwa τ (2310) = 10, τ(210) = 8, τ(1.156) = 9
Sekarang kita akan memperhatikan hasilkali pembagi-pembagi bulat positif dari suatu bilangan bulat positif n.
Contoh :
1)      Pembagi-pembagi bulat positif dari 12 adalah 1,2,4,6 dan 12. τ (12) = 6
Hasilkan semua pembagi bulat positif dari 12 ditulis dengan notasi K (12) maka :
K(12) = 1 . 2 .3 . 4 . 6 . 12
           = (1 . 12) (2 .6) (3 . 4)
           = 12 . 12 .12
           = (12)3
2)      Semua pembagi bulat positif dari 28 adalah 1,2,4,7,14 dan 28. τ (28) = 6
Hasil kali semua pembagi bulat positif dari 28 adalah :
K(28) = 1 . 2 . 4 . 7 . 14 . 28
           = (1 . 12) (2 . 14) (4 . 7)
           = 28 . 28 . 28
           = (28)3
3)      Periksalah bahwa K(2) = 2, K(5) = 5, K(9) = 27, K(18) = 183, K(24) = 243, K(32) = 323
Jika p suatu bilangan prima,maka K(p) = p, K(p2) = p3, K(p3) = p6, K(p4) = p10 dan K(pt) = p1/2 t(t + 1)

Teorema 4.10
Apabila n suatu bilangan bulat positif,maka hasilkan semua pembagi bulat positif dari n adalah
K(n) = n1/2 τ(n)

Bukti :
Misalkan d adalah suatu pembagi bulat positif dari n, maka ada d1 (yaitu pembagi bulat positif dari n pula)sedemikian hingga dd1 = n.hal ini mungkin saja terjadi bahwa d = d1,yaitu jika n suatu kuadrat sempurna.
Karena banyaknya pembagi bulat positif dari n adalah τ(n),dengan mengalikan setiap pembagi dari n (misalnya d) dengan pembagi pasangannya (misalnya d1) sedemikian hingga dd1 = n,maka akan diperoleh bahwa hasil kali semua pembagi bulat positif dari n adalah : K(n) = n1/2 τ(n)
Notasi lain dari K (n) adalah d

B.     Fungsi ơ (sigma)
Apabila τ(n) menyatakan banyaknya pembagi bulat positif dari n, maka ơ(n) menyatakan jumlah semua pembagi bulat positif dari n.
Definisi 4.3
Apabila n suatu bilangan bulat positif ,maka ơ(n) menyatakan jumlah semua pembagi bulat positif dari n. dengan menggunakan notasi ∑, ditulis ơ(n) =
Contoh :
1)      Semua pembagi bilangan bulat positif dari 12 adalah 1,2,3,4,6 dan 12 maka
Ơ(n) = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 12 = 28
2)      Ơ(27) = 1 + 3 + 9 +27 = 40
3)      Periksalah bahwa ơ(2) = 3, ơ(3) = 4, ơ(5) = 6, ơ(7) = 8, ơ(11) = 12
Jika p suatu bilangan prima,maka ơ(p) = p + 1,ơ(p2) = 1+ p + p2,ơ(p3) = 1 + p + p2 + p3 dan
Ơ(pt) = 1 + p + p2 + …+ pt
Mengingat rumus jumlah deret geometri,maka: 1 + p + p2 +  p3 +…+ pt =
Jadi ơ(pt) = ,jika p suatu bilangan prima dan t suatu bilangan bulat positif
Contoh :
 1) Semua pembagi bulat positif dari 32 adalah 1,2,4,8,16 dan 32,maka
Ơ(32) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
Ơ(32) = ơ(25) = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 26 – 1 = 63
 2) periksalah bahwa ơ(27) = 40, ơ(49) = 57, ơ(125) = 156, ơ(64) = 127, ơ(42) = 96, ơ(6) = 12
Apabila p dan q adaLah dua bilangan – bilangan prima yang berbeda dan n = pq,maka semua pembagi bulat positif dari n adalah 1,p,q dan pq = n, sehingga :
Ơ(n) = ơ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p) (1 + q)
Jika m = p2q3 dengan p dan q bilangan-bilangan prima yang berlainan,maka jumlah semua pembagi bilat positif dari m dapat disusun sebagai berikut :
Ơ(m) = (1 + p + p2 +  p3) + (1 + pq + pq2 +  pq3) + (p2 +  p2q + p2q2 +  p2q2)
          = (1 + p + p2) (1 + q + q2 +  q3)
Ơ(m) =  .
Kita dapat menyimpulkan bahwa apabila n = pkqt denganp dan q keduanya bilangan prima yang berbeda dan k,t bilangan \-bilangan bulat positif.maka :
Ơ(n) ơ(pkqt) =  .  = ơ(pk) . ơ(qt)
Analog dengan contoh diatas,buktikanlah pernyataan tersebut :
Contoh :
1)      Ơ(15) = ơ(3.5) = ơ(3).ơ(5) = 4 . 6 = 24
Ơ(45) = ơ(32.5) = ơ(32).ơ(5) =13 . 6 = 78
2)      Periksalah bahwa ơ(504) = 1560, ơ(784) = 1764,ơ(847) = 1064

Teorema  4.11
Apabila bentuk kanonik dari bilangan bulat positif n = 1a1,maka ơ(n) =  
Bukti :
Perhatikan suku-suku dari perkalian (1 + p1 + p12 + p13 + … + p1a1) (1 + p2 + p22 + p33 + … + p2a2) (1 + p3 + p32 + p33 + … + p3a3) … (1 + pk + pk2 + pk3 + … + pkak)

Setiap suku dari hasil perkalian ini berbeda satu dengan lainnya dan masing-masing merupakan pembagian dari n,sehingga :
Ơ(n) = i + pi2 + pi3 + … + piai)
Mengingat rumus jumlah deret geometri,maka
(1 + pi + pi2 + pi3 + … + piai =
Sehingga ơ(n) =
Contoh : 
1)      Ơ(2130) = ơ(2 . 3 . 5 . 7 . 11) =  .  .  .  .
                                                = 3 . 4 . 6 . 8 . 12 = 6912
2)      Ơ(5600) = ơ(22 . 52 . 7) =  .  .  = 63 . 31 . 8 =15.624
Perhatikan kembali definisi 4.2 dan definisi 4.3, yaitu jika n suatu bilangan bulat positif,maka (1) τ(n) =  dan (2)  ơ(n) =
Pada rumus (2),d menjalani semua pembagi bulat positif dari n. mengingat  merupakan pembagi bulat positif dari n pula, maka rumus (2) dapat ditulis sebagai :
Ơ(n) =  
         =  
 =
Hal ini dikatakan bahwa  merupakan jumlah kebalikan dari pembagi-pembagi bulat positif dari n.
Contoh :
1)      Semua pembagi bilangan bulat positif dari 18 adalah 1,2,3,6,9 dan 18. Ơ(18) = 39
Jumlah semua kebalikan pembagi-pembagi dari 18 adalah :
 =  +  + +  +  +
             =  =

Posting Komentar untuk "FUNGSI Dan ơ"